Giải tích Ví dụ

$e^{4 x \ln (x^{3})}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 4 x \ln (x^{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $4 x \ln (x^{3})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x \ln (x^{3})]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x \ln (x^{3})]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $4 x \ln (x^{3})$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} \frac{d}{d x} [4 x \ln (x^{3})]$

Bước 2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x \ln (x^{3})$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{3})]$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{3})])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x^{3})$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{3}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{3}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{3}}$ và $x$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x^{1}}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x \cdot 1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{1}{x^{2}} (3 x^{2}) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{3}{x^{2}} x^{2} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.4.2

Kết hợp $\frac{3}{x^{2}}$ và $x^{2}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.4.3.2

Chia $3$ cho $1$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (3 + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (3 + \ln (x^{3}) \cdot 1))$

Bước 5.6

Nhân $\ln (x^{3})$ với $1$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (3 + \ln (x^{3})))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \cdot 3 + 4 \ln (x^{3}))$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \cdot 3) + e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \ln (x^{3}))$

Bước 6.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $4$ với $3$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} \cdot 12 + e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \ln (x^{3}))$

Bước 6.3.2

Di chuyển $12$ sang phía bên trái của $e^{4 x \ln (x^{3})}$ .

$12 e^{4 x \ln (x^{3})} + e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \ln (x^{3}))$

Bước 6.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$4 e^{4 x \ln (x^{3})} \ln (x^{3}) + 12 e^{4 x \ln (x^{3})}$