Giải tích Ví dụ

$e^{2 x} \sin (2 x) \cos (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{2 x} \sin (2 x)$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x} \sin (2 x)]$

Bước 2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x} \sin (2 x)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{2 x}$ và $g (x) = \sin (2 x)$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Bước 5.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Bước 5.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]))$

Bước 6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))$

Bước 7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])))$

Bước 7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Bước 7.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{2 x} \cdot 2))$

Bước 7.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (2 \cdot e^{2 x}))$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x))) + \cos (x) (\sin (2 x) (2 e^{2 x}))$

Bước 8.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (x) e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) e^{2 x} \cos (2 x) + \cos (x) \sin (2 x) (2 e^{2 x})$

Bước 8.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- e^{2 x} \sin (x) \sin (2 x) + 2 e^{2 x} \cos (x) \cos (2 x) + 2 e^{2 x} \cos (x) \sin (2 x)$