Giải tích Ví dụ

$\frac{d}{d x} \cdot (\ln ({(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \frac{x + 4}{x + 5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\frac{x + 4}{x + 5}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 4}{x + 5}])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 4}{x + 5}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\frac{x + 4}{x + 5}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 4}{x + 5}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x + 4$ và $g (x) = x + 5$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x + 4] - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

Bước 4.3

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) (1 + 0) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

Bước 4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) \cdot 1 - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

Bước 4.4.2

Nhân $x + 5$ với $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

Bước 4.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}})$

Bước 4.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}})$

Bước 4.7

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}})$

Bước 4.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}})$

Bước 4.8.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4)}{{(x + 5)}^{2}})$

Bước 4.8.3

Kết hợp $\frac{x + 5 - (x + 4)}{{(x + 5)}^{2}}$ và $3$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (\frac{(x + 5 - (x + 4)) \cdot 3}{{(x + 5)}^{2}} {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2})$

Bước 4.8.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x + 5 - (x + 4)$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (\frac{3 \cdot (x + 5 - (x + 4))}{{(x + 5)}^{2}} {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x + 4}{x + 5}$ .

$\frac{1}{\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}} (\frac{3 (x + 5 - (x + 4))}{{(x + 5)}^{2}} {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2})$

Bước 5.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x + 4}{x + 5}$ .

$\frac{1}{\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}} (\frac{3 (x + 5 - (x + 4))}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Bước 5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}} (\frac{3 (x + 5 - x - 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Bước 5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}} (\frac{3 x + 3 \cdot 5 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Bước 5.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}$ .

$1 \frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 3 \cdot 5 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Bước 5.5.2

Nhân $\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}}$ với $1$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 3 \cdot 5 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Bước 5.5.3

Nhân $3$ với $5$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 15 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Bước 5.5.4

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 15 - 3 x + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Bước 5.5.5

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 15 - 3 x + 3 \cdot - 4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Bước 5.5.6

Nhân $3$ với $- 4$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 15 - 3 x - 12}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Bước 5.5.7

Trừ $3 x$ khỏi $3 x$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{0 + 15 - 12}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Bước 5.5.8

Cộng $0$ và $15$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{15 - 12}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Bước 5.5.9

Trừ $12$ khỏi $15$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Bước 5.5.10

Nhân $\frac{3}{{(x + 5)}^{2}}$ với $\frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} \cdot \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(x + 5)}^{2}}$

Bước 5.5.11

Nhân ${(x + 5)}^{2}$ với ${(x + 5)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.11.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} \cdot \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2 + 2}}$

Bước 5.5.11.2

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} \cdot \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{4}}$

Bước 5.5.12

Nhân $\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}}$ với $\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{4}}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3} (3 {(x + 4)}^{2})}{{(x + 4)}^{3} {(x + 5)}^{4}}$

Bước 5.5.13

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(x + 5)}^{3}$ .

$\frac{3 \cdot {(x + 5)}^{3} {(x + 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{3} {(x + 5)}^{4}}$

Bước 5.5.14

Triệt tiêu thừa số chung của ${(x + 5)}^{3}$ và ${(x + 5)}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.14.1

Đưa ${(x + 5)}^{3}$ ra ngoài $3 {(x + 5)}^{3} {(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3} (3 {(x + 4)}^{2})}{{(x + 4)}^{3} {(x + 5)}^{4}}$

Bước 5.5.14.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.14.2.1

Đưa ${(x + 5)}^{3}$ ra ngoài ${(x + 4)}^{3} {(x + 5)}^{4}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3} (3 {(x + 4)}^{2})}{{(x + 5)}^{3} ({(x + 4)}^{3} (x + 5))}$

Bước 5.5.14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(x + 5)}^{3} (3 {(x + 4)}^{2})}{{(x + 5)}^{3} ({(x + 4)}^{3} (x + 5))}$

Bước 5.5.14.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{3} (x + 5)}$

Bước 5.5.15

Triệt tiêu thừa số chung của ${(x + 4)}^{2}$ và ${(x + 4)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.15.1

Đưa ${(x + 4)}^{2}$ ra ngoài $3 {(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 3}{{(x + 4)}^{3} (x + 5)}$

Bước 5.5.15.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.15.2.1

Đưa ${(x + 4)}^{2}$ ra ngoài ${(x + 4)}^{3} (x + 5)$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 3}{{(x + 4)}^{2} ((x + 4) (x + 5))}$

Bước 5.5.15.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 3}{{(x + 4)}^{2} ((x + 4) (x + 5))}$

Bước 5.5.15.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{(x + 4) (x + 5)}$