Giải tích Ví dụ

$\frac{\csc (4 x)}{2 e^{3 x}}$

Bước 1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{\csc (4 x)}{2 e^{3 x}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\csc (4 x)}{e^{3 x}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\csc (4 x)}{e^{3 x}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \csc (4 x)$ và $g (x) = e^{3 x}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [\csc (4 x)] - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{{(e^{3 x})}^{2}}$

Bước 3

Nhân các số mũ trong ${(e^{3 x})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [\csc (4 x)] - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{3 x \cdot 2}}$

Bước 3.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [\csc (4 x)] - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \csc (x)$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $4 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\csc (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $4 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- \csc (4 x) \cot (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Bước 5.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [x]) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x) \cdot 1) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Bước 5.4

Nhân $- 4$ với $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Bước 6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Bước 7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Bước 7.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Bước 7.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) (e^{3 x} \cdot 1)}{e^{6 x}}$

Bước 7.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $e^{3 x}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Bước 7.4.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$ .

$\frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}}{2 e^{6 x}}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- 4 e^{3 x} (\csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}}{2 e^{6 x}}$

Bước 8.1.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 4 e^{3 x} (\csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}$ .

$\frac{- 4 e^{3 x} \csc (4 x) \cot (4 x) - 3 e^{3 x} \csc (4 x)}{2 e^{6 x}}$

Bước 8.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 4 e^{3 x} \cot (4 x) \csc (4 x) - 3 e^{3 x} \csc (4 x)}{2 e^{6 x}}$

Bước 8.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Đưa $e^{3 x} \csc (4 x)$ ra ngoài $- 4 e^{3 x} \cot (4 x) \csc (4 x) - 3 e^{3 x} \csc (4 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Đưa $e^{3 x} \csc (4 x)$ ra ngoài $- 4 e^{3 x} \cot (4 x) \csc (4 x)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- 4 \cot (4 x)) - 3 e^{3 x} \csc (4 x)}{2 e^{6 x}}$

Bước 8.3.1.2

Đưa $e^{3 x} \csc (4 x)$ ra ngoài $- 3 e^{3 x} \csc (4 x)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- 4 \cot (4 x)) + e^{3 x} \csc (4 x) (- 3)}{2 e^{6 x}}$

Bước 8.3.1.3

Đưa $e^{3 x} \csc (4 x)$ ra ngoài $e^{3 x} \csc (4 x) (- 4 \cot (4 x)) + e^{3 x} \csc (4 x) (- 3)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- 4 \cot (4 x) - 3)}{2 e^{6 x}}$

Bước 8.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 \cot (4 x) - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 \cot (4 x)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- (4 \cot (4 x)) - 3)}{2 e^{6 x}}$

Bước 8.3.2.2

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- (4 \cot (4 x)) - 1 (3))}{2 e^{6 x}}$

Bước 8.3.2.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 \cot (4 x)) - 1 (3)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- (4 \cot (4 x) + 3))}{2 e^{6 x}}$

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) \cdot - 1 (4 \cot (4 x) + 3)}{2 e^{6 x}}$

Bước 8.3.3

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\frac{- e^{3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3)}{2 e^{6 x}}$

Bước 8.4

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{3 x}$ và $e^{6 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Đưa $e^{6 x}$ ra ngoài $- e^{3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3)$ .

$\frac{e^{6 x} (- e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3))}{2 e^{6 x}}$

Bước 8.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1

Đưa $e^{6 x}$ ra ngoài $2 e^{6 x}$ .

$\frac{e^{6 x} (- e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3))}{e^{6 x} \cdot 2}$

Bước 8.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{6 x} (- e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3))}{e^{6 x} \cdot 2}$

Bước 8.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3)}{2}$

Bước 8.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3)}{2}$