Giải tích Ví dụ

${\cos (x)}^{\sin (x)}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${\cos (x)}^{\sin (x)}$ ở dạng $e^{\ln ({\cos (x)}^{\sin (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (x)}^{\sin (x)})}]$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({\cos (x)}^{\sin (x)})$ bằng cách di chuyển $\sin (x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (\cos (x))}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \sin (x) \ln (\cos (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin (x) \ln (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (\cos (x))]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (\cos (x))]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin (x) \ln (\cos (x))$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (\cos (x))]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \ln (\cos (x))$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 5

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 6

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) \sec (x) (- \sin (x)) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 7

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 8

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 10

Cộng $1$ và $1$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- \sin^{2} (x)) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 11

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- \sin^{2} (x)) + \ln (\cos (x)) \cos (x))$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- \sin^{2} (x))) + e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\ln (\cos (x)) \cos (x))$

Bước 12.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \sec (x) (- \sin^{2} (x)) + e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \ln (\cos (x)) \cos (x)$

Bước 12.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \sin^{2} (x) \sec (x) + e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \cos (x) \ln (\cos (x))$