Giải tích Ví dụ

$\frac{\cos (x)}{\csc (x)}$

Bước 1

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}]$

Bước 2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 4

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 5

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 6

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 8

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 9

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Bước 10

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Bước 11

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Bước 12

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Bước 13

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \cos (x)$ và $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 14.2

Khai triển $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 14.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 14.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Bước 14.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $\cos (x) (- \sin (x))$ và $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Bước 14.3.2

Cộng $- \cos (x) \sin (x)$ và $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Bước 14.3.3

Cộng $\cos (x) \cos (x)$ và $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Bước 14.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Nhân $\cos (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Bước 14.4.1.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Bước 14.4.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Bước 14.4.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Bước 14.4.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Bước 14.4.3

Nhân $- \sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.3.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Bước 14.4.3.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Bước 14.4.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Bước 14.4.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Bước 14.5

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho cosin.

$\cos (2 x)$