Giải tích Ví dụ

$\frac{8 x}{\sin (x) + \cos (x)}$

Bước 1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{8 x}{\sin (x) + \cos (x)}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sin (x) + \cos (x)}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sin (x) + \cos (x)}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$8 \frac{(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$8 \frac{(\sin (x) + \cos (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.2

Nhân $\sin (x) + \cos (x)$ với $1$ .

$8 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$8 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 4

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$8 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 5

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$8 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6

Kết hợp $8$ và $\frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{8 (\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8 (\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x) - x (- \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) + 8 (- x \cos (x)) + 8 (- x (- \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 7.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $- 1$ với $8$ .

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) - 8 (x \cos (x)) + 8 (- x (- \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 7.3.2

Nhân $- x (- \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) - 8 x \cos (x) + 8 (1 x \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 7.3.2.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) - 8 x \cos (x) + 8 (x \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) - 8 x \cos (x) + 8 x \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 7.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 8 x \cos (x) + 8 x \sin (x) + 8 \sin (x) + 8 \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 7.5

Đưa $8$ ra ngoài $- 8 x \cos (x) + 8 x \sin (x) + 8 \sin (x) + 8 \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Đưa $8$ ra ngoài $- 8 x \cos (x)$ .

$\frac{8 (- x \cos (x)) + 8 x \sin (x) + 8 \sin (x) + 8 \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 7.5.2

Đưa $8$ ra ngoài $8 x \sin (x)$ .

$\frac{8 (- x \cos (x)) + 8 (x \sin (x)) + 8 \sin (x) + 8 \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 7.5.3

Đưa $8$ ra ngoài $8 \sin (x)$ .

$\frac{8 (- x \cos (x)) + 8 (x \sin (x)) + 8 (\sin (x)) + 8 \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 7.5.4

Đưa $8$ ra ngoài $8 \cos (x)$ .

$\frac{8 (- x \cos (x)) + 8 (x \sin (x)) + 8 (\sin (x)) + 8 (\cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 7.5.5

Đưa $8$ ra ngoài $8 (- x \cos (x)) + 8 (x \sin (x))$ .

$\frac{8 (- x \cos (x) + x \sin (x)) + 8 (\sin (x)) + 8 (\cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 7.5.6

Đưa $8$ ra ngoài $8 (- x \cos (x) + x \sin (x)) + 8 (\sin (x))$ .

$\frac{8 (- x \cos (x) + x \sin (x) + \sin (x)) + 8 (\cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 7.5.7

Đưa $8$ ra ngoài $8 (- x \cos (x) + x \sin (x) + \sin (x)) + 8 (\cos (x))$ .

$\frac{8 (- x \cos (x) + x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 7.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x \cos (x)$ .

$\frac{8 (- (x \cos (x)) + x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 7.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $x \sin (x)$ .

$\frac{8 (- (x \cos (x)) - (- x \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 7.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x \cos (x)) - (- x \sin (x))$ .

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 7.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sin (x)$ .

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x)) - 1 (- \sin (x)) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 7.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x \cos (x) - x \sin (x)) - 1 (- \sin (x))$ .

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 7.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $\cos (x)$ .

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) - 1 (- \cos (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 7.12

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) - 1 (- \cos (x))$ .

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 7.13

Viết lại $- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))$ ở dạng $- 1 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))$ .

$\frac{8 (- 1 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 7.14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{8 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$