Giải tích Ví dụ

$\frac{\arcsin (2 x)}{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \arcsin (2 x)$ và $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\arcsin (2 x)] - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arcsin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\arcsin (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]) - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]) - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]) - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (x)$ .

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - (2^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x]) - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - (4 x^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x]) - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.2.1.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]) - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ và $x$ .

$\frac{\frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x] - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x]) - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.4

Kết hợp $2$ và $\frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x] - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \cdot 1 - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.6

Nhân $\frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ với $1$ .

$\frac{\frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4

Nhân $\frac{\frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ với $\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \cdot \frac{\frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp.

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} (\frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} + \sqrt{1 - 4 x^{2}} (- \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} + \sqrt{1 - 4 x^{2}} (- \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

Bước 5.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 x + \sqrt{1 - 4 x^{2}} (- \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 x + \sqrt{1 - 4 x^{2}} (- \arcsin (2 x) \cdot 1)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

Bước 7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2 x + \sqrt{1 - 4 x^{2}} (- \arcsin (2 x))}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 x - \sqrt{1 - 4 x^{2}} \arcsin (2 x)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

Bước 8.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{2 x - \sqrt{1^{2} - 4 x^{2}} \arcsin (2 x)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

Bước 8.1.3

Viết lại $4 x^{2}$ ở dạng ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{2 x - \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}} \arcsin (2 x)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

Bước 8.1.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = 2 x$ .

$\frac{2 x - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))} \arcsin (2 x)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

Bước 8.1.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2 x - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \arcsin (2 x)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

Bước 8.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \arcsin (2 x) + 2 x}{x^{2} \sqrt{1 - 4 x^{2}}}$