Giải tích Ví dụ

$\frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \sin (3 x)$ và $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Bước 2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$\frac{x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) \cdot 3) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\cos (3 x)$ .

$\frac{x^{2} (3 \cdot \cos (3 x)) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (3 \cos (3 x)) - \sin (3 x) (2 x)}{x^{4}}$

Bước 4.5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2} (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x) x}{x^{4}}$

Bước 4.5.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} (3 \cos (3 x))$ .

$\frac{x (x (3 \cos (3 x))) - 2 \sin (3 x) x}{x^{4}}$

Bước 4.5.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 2 \sin (3 x) x$ .

$\frac{x (x (3 \cos (3 x))) + x (- 2 \sin (3 x))}{x^{4}}$

Bước 4.5.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (x (3 \cos (3 x))) + x (- 2 \sin (3 x))$ .

$\frac{x (x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x))}{x^{4}}$

Bước 5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$\frac{x (x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x)}{x^{3}}$

Bước 6

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{3 x \cos (3 x) - 2 \sin (3 x)}{x^{3}}$