Giải tích Ví dụ

$\sin^{4} (3 x) - \cos^{4} (3 x)$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin^{4} (3 x) - \cos^{4} (3 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin^{4} (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{4} (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\sin^{4} (3 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = \sin (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin (3 x)$ .

$4 \sin^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Bước 2.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Bước 2.5

Nhân $3$ với $1$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (3 x) \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Bước 2.6

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\cos (3 x)$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (3 \cdot \cos (3 x)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Bước 2.7

Nhân $3$ với $4$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos^{4} (3 x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos^{4} (3 x)]$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - \frac{d}{d x} [\cos^{4} (3 x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = \cos (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $\cos (3 x)$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ là $n {u_{3}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $\cos (3 x)$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{4}$ ở dạng $3 x$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [3 x]))$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\cos (u_{4})$ đối với $u_{4}$ là $- \sin (u_{4})$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [3 x]))$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{4}$ với $3 x$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]))$

Bước 3.4

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])))$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)))$

Bước 3.6

Nhân $3$ với $1$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (3 x) \cdot 3))$

Bước 3.7

Nhân $3$ với $- 1$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- 3 \sin (3 x)))$

Bước 3.8

Nhân $- 3$ với $4$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (- 12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x))$

Bước 3.9

Nhân $- 12$ với $- 1$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) + 12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $12 \sin (3 x) \cos (3 x)$ ra ngoài $12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) + 12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Đưa $12 \sin (3 x) \cos (3 x)$ ra ngoài $12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x)$ .

$12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\sin^{2} (3 x)) + 12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x)$

Bước 4.1.2

Đưa $12 \sin (3 x) \cos (3 x)$ ra ngoài $12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x)$ .

$12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\sin^{2} (3 x)) + 12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\cos^{2} (3 x))$

Bước 4.1.3

Đưa $12 \sin (3 x) \cos (3 x)$ ra ngoài $12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\sin^{2} (3 x)) + 12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\cos^{2} (3 x))$ .

$12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\sin^{2} (3 x) + \cos^{2} (3 x))$

Bước 4.2

Áp dụng đẳng thức pytago.

$12 \sin (3 x) \cos (3 x) \cdot 1$

Bước 4.3

Nhân $12$ với $1$ .

$12 \sin (3 x) \cos (3 x)$