Giải tích Ví dụ

$e^{x} - x^{3} \arctan (x)$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} - x^{3} \arctan (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} \arctan (x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- x^{3} \arctan (x)]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{3} \arctan (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{3} \arctan (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{3} \arctan (x)]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [x^{3} \arctan (x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \arctan (x)$ .

$e^{x} - (x^{3} \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\arctan (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$e^{x} - (x^{3} \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$e^{x} - (x^{3} \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (3 x^{2}))$

Bước 3.5

Kết hợp $x^{3}$ và $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$e^{x} - (\frac{x^{3}}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (3 x^{2}))$

Bước 3.6

Để viết $\arctan (x) (3 x^{2})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$e^{x} - (\frac{x^{3}}{1 + x^{2}} + \frac{\arctan (x) (3 x^{2}) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}})$

Bước 3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e^{x} - \frac{x^{3} + \arctan (x) (3 x^{2}) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{x} - \frac{x^{3} + \arctan (x) (3 x^{2}) \cdot 1 + \arctan (x) (3 x^{2}) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $\arctan (x)$ với $1$ .

$e^{x} - \frac{x^{3} + 3 x^{2} \cdot \arctan (x) + \arctan (x) (3 x^{2}) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Bước 4.2.2

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$e^{x} - \frac{x^{3} + 3 x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) (3 (x^{2} x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Bước 4.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{x} - \frac{x^{3} + 3 x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) (3 x^{2 + 2})}{1 + x^{2}}$

Bước 4.2.2.3

Cộng $2$ và $2$ .

$e^{x} - \frac{x^{3} + 3 x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) (3 x^{4})}{1 + x^{2}}$

Bước 4.2.3

Để viết $e^{x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{e^{x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{x^{3} + 3 x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) (3 x^{4})}{1 + x^{2}}$

Bước 4.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{x} (1 + x^{2}) - (x^{3} + 3 x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) (3 x^{4}))}{1 + x^{2}}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{e^{x} (1 + x^{2}) - (x^{3} + 3 x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) (3 x^{4}))}{x^{2} + 1}$