Giải tích Ví dụ

$\ln ({(3 + e^{x})}^{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = {(3 + e^{x})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(3 + e^{x})}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 + e^{x})}^{2}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(3 + e^{x})}^{2}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(3 + e^{x})}^{2}$ .

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(3 + e^{x})}^{2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = 3 + e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 + e^{x}$ .

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 + e^{x}$ .

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} (2 (3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 + e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))$

Bước 3.3

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))$

Bước 3.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) e^{x})$

Bước 5

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $e^{x}$ và $\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{e^{x} \cdot 2}{{(3 + e^{x})}^{2}} (3 + e^{x})$

Bước 5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{x}$ .

$\frac{2 \cdot e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} (3 + e^{x})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{2 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} (3 + e^{x})$ .

$(3 + e^{x}) \frac{2 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung $3 + e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $3 + e^{x}$ ra ngoài ${(3 + e^{x})}^{2}$ .

$(3 + e^{x}) \frac{2 e^{x}}{(3 + e^{x}) (3 + e^{x})}$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$(3 + e^{x}) \frac{2 e^{x}}{(3 + e^{x}) (3 + e^{x})}$

Bước 6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 e^{x}}{3 + e^{x}}$