Giải tích Ví dụ

$\frac{\ln (3 x)}{2 x^{2}}$

Bước 1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{\ln (3 x)}{2 x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (3 x)}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (3 x)}{x^{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \ln (3 x)$ và $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Bước 3

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Bước 3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{3 x}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x}{3} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x}{3} (3 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Kết hợp $3$ và $\frac{x}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5.4.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot 1 - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5.6

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x - \ln (3 x) (2 x)}{x^{4}}$

Bước 5.8

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x - 2 \ln (3 x) x}{x^{4}}$

Bước 5.8.2

Đưa $x$ ra ngoài $x - 2 \ln (3 x) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1} - 2 \ln (3 x) x}{x^{4}}$

Bước 5.8.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot 1 - 2 \ln (3 x) x}{x^{4}}$

Bước 5.8.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $- 2 \ln (3 x) x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (3 x))}{x^{4}}$

Bước 5.8.2.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (3 x))$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (1 - 2 \ln (3 x))}{x^{4}}$

Bước 6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (1 - 2 \ln (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (1 - 2 \ln (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2 \ln (3 x)}{x^{3}}$

Bước 7

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1 - 2 \ln (3 x)}{x^{3}}$ .

$\frac{1 - 2 \ln (3 x)}{2 x^{3}}$

Bước 8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn $- 2 \ln (3 x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{1 - \ln ({(3 x)}^{2})}{2 x^{3}}$

Bước 8.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x$ .

$\frac{1 - \ln (3^{2} x^{2})}{2 x^{3}}$

Bước 8.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1 - \ln (9 x^{2})}{2 x^{3}}$