Giải tích Ví dụ

$\frac{\ln (7 x)}{x^{5}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \ln (7 x)$ và $g (x) = x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Bước 2

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Bước 2.2

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 7 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $7 x$ .

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{5} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 x$ .

$\frac{x^{5} (\frac{1}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{7 x}$ và $x^{5}$ .

$\frac{\frac{x^{5}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{5}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{5}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $7 x$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 4.3

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{x^{4}}{7} (7 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 4.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Kết hợp $7$ và $\frac{x^{4}}{7}$ .

$\frac{\frac{7 x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{7 x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 4.4.2.2

Chia $x^{4}$ cho $1$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x^{4} \cdot 1 - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 4.6

Nhân $x^{4}$ với $1$ .

$\frac{x^{4} - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$\frac{x^{4} - \ln (7 x) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Bước 4.8

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\frac{x^{4} - 5 \ln (7 x) x^{4}}{x^{10}}$

Bước 4.8.2

Đưa $x^{4}$ ra ngoài $x^{4} - 5 \ln (7 x) x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{x^{4} \cdot 1 - 5 \ln (7 x) x^{4}}{x^{10}}$

Bước 4.8.2.2

Đưa $x^{4}$ ra ngoài $- 5 \ln (7 x) x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (7 x))}{x^{10}}$

Bước 4.8.2.3

Đưa $x^{4}$ ra ngoài $x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (7 x))$ .

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{10}}$

Bước 5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $x^{4}$ ra ngoài $x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{4} x^{6}}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{4} x^{6}}$

Bước 5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 - 5 \ln (7 x)}{x^{6}}$

Bước 6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn $- 5 \ln (7 x)$ bằng cách di chuyển $5$ trong logarit.

$\frac{1 - \ln ({(7 x)}^{5})}{x^{6}}$

Bước 6.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $7 x$ .

$\frac{1 - \ln (7^{5} x^{5})}{x^{6}}$

Bước 6.3

Nâng $7$ lên lũy thừa $5$ .

$\frac{1 - \ln (16807 x^{5})}{x^{6}}$