Giải tích Ví dụ

$\sqrt{4 x + 8}$

Bước 1

Viết lại $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x + 8}]$ ở dạng $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x + 2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $4 x + 8$ ở dạng $2^{2} (x + 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x) + 8}]$

Bước 1.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x) + 4 (2)}]$

Bước 1.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (x) + 4 (2)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x + 2)}]$

Bước 1.1.4

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} (x + 2)}]$

Bước 1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x + 2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x + 2}$ ở dạng ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 2$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 2$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 8

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 8.3

Di chuyển ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 8.4

Kết hợp $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ và $2$ .

$\frac{2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Bước 8.5

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Bước 8.6

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Bước 9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 11

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Bước 12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Bước 12.2

Nhân $\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ với $1$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$