Giải tích Ví dụ

$\sqrt{3 x^{2} + 12 x + 18}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3 x^{2} + 12 x + 18}$ ở dạng ${(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 3 x^{2} + 12 x + 18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x^{2} + 12 x + 18$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x^{2} + 12 x + 18$ .

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Bước 7.3

Di chuyển ${(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} + 12 x + 18$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [18])$

Bước 9

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [18])$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [18])$

Bước 11

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [18])$

Bước 12

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [18])$

Bước 13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [18])$

Bước 14

Nhân $12$ với $1$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + 12 + \frac{d}{d x} [18])$

Bước 15

Vì $18$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $18$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + 12 + 0)$

Bước 16

Cộng $6 x + 12$ và $0$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + 12)$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + 12)$ .

$(6 x + 12) \frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17.2

Nhân $6 x + 12$ với $\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6 x + 12}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17.3

Đưa $2$ ra ngoài $6 x$ .

$\frac{2 (3 x) + 12}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17.4

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot 6}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (3 x) + 2 (6)$ .

$\frac{2 (3 x + 6)}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 x + 6)}{2 ({(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 17.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (3 x + 6)}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17.6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 x + 6}{{(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17.7

Đưa $3$ ra ngoài $3 x + 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x$ .

$\frac{3 (x) + 6}{{(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17.7.2

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{{(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17.7.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 x + 3 \cdot 2$ .

$\frac{3 (x + 2)}{{(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$