Giải tích Ví dụ

$\sqrt{3 + \sin (5 x)}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3 + \sin (5 x)}$ ở dạng ${(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 3 + \sin (5 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 + \sin (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 + \sin (5 x)$ .

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

Bước 7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

Bước 7.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(3 + \sin (5 x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3 + \sin (5 x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

Bước 7.2.2

Di chuyển ${(3 + \sin (5 x))}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

Bước 7.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 + \sin (5 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Bước 7.4

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Bước 7.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $5 x$ .

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 8.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $5 x$ .

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 9

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\cos (5 x)$ và $\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 9.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 9.3

Kết hợp $5$ và $\frac{\cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5 \cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 9.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{5 \cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Bước 9.5

Nhân $\frac{5 \cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}}$ với $1$ .

$\frac{5 \cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}}$