Giải tích Ví dụ

$\sqrt{1 + 2 e^{3 x}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + 2 e^{3 x}}$ ở dạng ${(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 1 + 2 e^{3 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $1 + 2 e^{3 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 + 2 e^{3 x}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Bước 7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Bước 7.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(1 + 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Bước 7.2.2

Di chuyển ${(1 + 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Bước 7.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 2 e^{3 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 e^{3 x}])$

Bước 7.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 e^{3 x}])$

Bước 7.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$

Bước 7.6

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 e^{3 x}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Bước 7.7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Bước 7.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Bước 7.7.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x$ .

$\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 8.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x$ .

$\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 9

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $e^{3 x}$ và $\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 9.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 9.3

Kết hợp $3$ và $\frac{e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 9.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{3 e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Bước 9.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Nhân $\frac{3 e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ với $1$ .

$\frac{3 e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 9.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{3 e^{3 x}}{{(2 e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$