Giải tích Ví dụ

$\sqrt[3]{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{\cos^{2} (3 x)}$ ở dạng ${\cos (3 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\cos (3 x)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ và $g (x) = \cos (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cos (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cos (3 x)$ .

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 6.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và ${\cos (3 x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {\cos (3 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 7.3

Di chuyển ${\cos (3 x)}^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x$ .

$\frac{2}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 8.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{2}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x$ .

$\frac{2}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{2}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}}$ và $\sin (3 x)$ .

$- \frac{2 \sin (3 x)}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 9.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{2 \sin (3 x)}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 9.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 \frac{2 \sin (3 x)}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 9.3.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{2 \sin (3 x)}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{- 3 (2 \sin (3 x))}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 9.3.3

Nhân $2$ với $- 3$ .

$\frac{- 6 \sin (3 x)}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 9.3.4

Đưa $3$ ra ngoài $- 6 \sin (3 x)$ .

$\frac{3 (- 2 \sin (3 x))}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 10

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 (- 2 \sin (3 x))}{3 ({\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 10.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (- 2 \sin (3 x))}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 10.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2 \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{2 \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Bước 13

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{2 \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}}$