Giải tích Ví dụ

$\frac{x}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân các số mũ trong ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 2.3

Nhân ${(x - 1)}^{2}$ với $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} - x (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 4

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} - 2 x ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 4.2

Đưa $x - 1$ ra ngoài ${(x - 1)}^{2} - 2 x ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $x - 1$ ra ngoài ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 1) - 2 x ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 4.2.2

Đưa $x - 1$ ra ngoài $- 2 x ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

$\frac{(x - 1) (x - 1) + (x - 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 4.2.3

Đưa $x - 1$ ra ngoài $(x - 1) (x - 1) + (x - 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))$ .

$\frac{(x - 1) (x - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $x - 1$ ra ngoài ${(x - 1)}^{4}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x - 1) (x - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Bước 5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x - 1 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 8

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x - 1 - 2 x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 9

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{x - 1 - 2 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 9.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{x - 1 - 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 9.3

Trừ $2 x$ khỏi $x$ .

$\frac{- x - 1}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{- (x) - 1}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 10.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 10.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 10.4

Viết lại $- (x + 1)$ ở dạng $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 10.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{x + 1}{{(x - 1)}^{3}}$