Giải tích Ví dụ

$2 x e^{- x} + e^{2 x}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x e^{- x} + e^{2 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x e^{- x}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{- x}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $- x$ .

$2 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$2 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- x$ .

$2 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.8

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$2 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.9

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.10

Nhân $e^{- x}$ với $1$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Bước 3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{2 x} \cdot 2$

Bước 3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 e^{2 x}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$

Bước 4.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 2 e^{- x} x + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$

Bước 4.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 2 e^{- x} x + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$ .

$- 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$