Giải tích Ví dụ

$2 x \sin (x) \sqrt{3 x - 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3 x - 1}$ ở dạng ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \sin (x) {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x \sin (x) {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x \sin (x) {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \sin (x) {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x \sin (x)$ và $g (x) = {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x \sin (x) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 3 x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x - 1$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x - 1$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Bước 8

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Bước 8.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{{(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Bước 8.2.2

Di chuyển ${(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Bước 8.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$2 (\frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \sin (x) \frac{d}{d x} [3 x - 1] + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Bước 8.2.4

Kết hợp $\frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và $\sin (x)$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Bước 8.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Bước 8.4

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Bước 8.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Bước 8.6

Nhân $3$ với $1$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Bước 8.7

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Bước 8.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.8.1

Cộng $3$ và $0$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3 + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Bước 8.8.2

Kết hợp $\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và $3$ .

$2 (\frac{x \sin (x) \cdot 3}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Bước 8.8.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x \sin (x)$ .

$2 (\frac{3 \cdot (x \sin (x))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 10

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1))$

Bước 11.2

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x)))$

Bước 12

Để viết ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x))$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x)) \cdot \frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 13

Kết hợp ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x))$ và $\frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \frac{3 x \sin (x) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 15

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 16

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 16.2

Cộng $1$ và $1$ .

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17.2

Viết lại biểu thức.

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{1})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 18

Rút gọn.

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 (3 x - 1))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 19

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x \cos (x) + \sin (x)$ .

$2 \frac{3 x \sin (x) + 2 \cdot (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 20

Kết hợp $2$ và $\frac{3 x \sin (x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (3 x \sin (x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (3 x \sin (x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 x \sin (x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 x \sin (x) + (2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x)) (3 x - 1)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.1.1

Khai triển $(2 x \cos (x) + 2 \sin (x)) (3 x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 x \sin (x) + 2 x \cos (x) (3 x - 1) + 2 \sin (x) (3 x - 1)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 x \sin (x) + 2 x \cos (x) (3 x) + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x - 1)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 x \sin (x) + 2 x \cos (x) (3 x) + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23.2.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.1.2.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.1.2.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 2 (x \cdot x) \cos (x) \cdot 3 + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23.2.1.2.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 2 x^{2} \cos (x) \cdot 3 + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23.2.1.2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23.2.1.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23.2.1.2.4

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 6 \sin (x) x + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23.2.1.2.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 6 \sin (x) x - 2 \sin (x)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23.2.2

Cộng $3 x \sin (x)$ và $6 \sin (x) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.2.1

Di chuyển $\sin (x)$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) - 2 \sin (x)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23.2.2.2

Cộng $3 x \sin (x)$ và $6 x \sin (x)$ .

$\frac{9 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) - 2 \sin (x)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$