Giải tích Ví dụ

$2 x \ln (2 x)$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x \ln (2 x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x \ln (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (2 x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (2 x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{2 x}$ và $x$ .

$2 (\frac{x}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{x}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.2.2

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\frac{1}{2} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{2}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{2}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$2 (1 \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.4.3

Nhân $\frac{d}{d x} [x]$ với $1$ .

$2 (\frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (1 + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (1 + \ln (2 x) \cdot 1)$

Bước 4.7

Nhân $\ln (2 x)$ với $1$ .

$2 (1 + \ln (2 x))$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cdot 1 + 2 \ln (2 x)$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + 2 \ln (2 x)$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 \ln (2 x) + 2$