Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{x - 4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại $\frac{1}{x - 4}$ ở dạng ${(x - 4)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 1}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 4]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 4$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Bước 1.1.3.3

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} (1 + 0)$

Bước 1.1.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} \cdot 1$

Bước 1.1.3.4.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- {(x - 4)}^{- 2}$

Bước 1.1.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$1 = 0$

Bước 2.3

Vì $1 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 3

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào

Bước 4

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x - 4)}^{2} = 0$

Bước 4.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đặt $x - 4$ bằng $0$ .

$x - 4 = 0$

Bước 4.2.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 5

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = \frac{1}{x - 4}$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 4)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f' (3) = - \frac{1}{{((3) - 4)}^{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Trừ $4$ khỏi $3$ .

$f' (3) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Bước 6.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (3) = - \frac{1}{1}$

Bước 6.2.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (3) = - \frac{1}{1}$

Bước 6.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$f' (3) = - 1 \cdot 1$

Bước 6.2.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (3) = - 1$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 1$ .

$- 1$

Bước 6.3

Tại $x = 3$ đạo hàm là $- 1$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, 4)$ .

Giảm trên $(- \infty, 4)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(4, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $5$ trong biểu thức.

$f' (5) = - \frac{1}{{((5) - 4)}^{2}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Trừ $4$ khỏi $5$ .

$f' (5) = - \frac{1}{1^{2}}$

Bước 7.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (5) = - \frac{1}{1}$

Bước 7.2.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (5) = - \frac{1}{1}$

Bước 7.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$f' (5) = - 1 \cdot 1$

Bước 7.2.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (5) = - 1$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 1$ .

$- 1$

Bước 7.3

Tại $x = 5$ đạo hàm là $- 1$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(4, \infty)$ .

Giảm trên $(4, \infty)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Giảm trên: $(- \infty, 4), (4, \infty)$

Bước 9