Giải tích Ví dụ

$4 x \sqrt{64 - x^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{64 - x^{2}}$ ở dạng ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 64 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $64 - x^{2}$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $64 - x^{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x (\frac{{(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 8.3

Di chuyển ${(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x (\frac{1}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 8.4

Kết hợp $\frac{1}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}] + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $64 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 10

Vì $64$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $64$ đối với $x$ là $0$ .

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 11

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 12

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 14

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 14.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{- 2 x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 14.3

Kết hợp $\frac{- 2 x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$4 (\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 15

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 16

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 17

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 (\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 18

Cộng $1$ và $1$ .

$4 (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 19

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x^{2}$ .

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 20

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 20.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 20.3

Viết lại biểu thức.

$4 (\frac{- x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 21

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 (- \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 22

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Bước 23

Nhân ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 24

Để viết ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 25

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26

Nhân ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ với ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3

Cộng $1$ và $1$ .

$4 \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.4

Chia $2$ cho $2$ .

$4 \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{1}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 27

Rút gọn ${(64 - x^{2})}^{1}$ .

$4 \frac{- x^{2} + 64 - x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 28

Trừ $x^{2}$ khỏi $- x^{2}$ .

$4 \frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 29

Kết hợp $4$ và $\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (- 2 x^{2} + 64)}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 30

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 30.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (- 2 x^{2}) + 4 \cdot 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 30.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 30.2.1

Nhân $- 2$ với $4$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 4 \cdot 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 30.2.2

Nhân $4$ với $64$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 256}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 30.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 8 x^{2} + 256}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 30.4

Đưa $8$ ra ngoài $- 8 x^{2} + 256$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 30.4.1

Đưa $8$ ra ngoài $- 8 x^{2}$ .

$\frac{8 (- x^{2}) + 256}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 30.4.2

Đưa $8$ ra ngoài $256$ .

$\frac{8 (- x^{2}) + 8 (32)}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 30.4.3

Đưa $8$ ra ngoài $8 (- x^{2}) + 8 (32)$ .

$\frac{8 (- x^{2} + 32)}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 30.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$\frac{8 (- (x^{2}) + 32)}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 30.6

Viết lại $32$ ở dạng $- 1 (- 32)$ .

$\frac{8 (- (x^{2}) - 1 (- 32))}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 30.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2}) - 1 (- 32)$ .

$\frac{8 (- (x^{2} - 32))}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 30.8

Viết lại $- (x^{2} - 32)$ ở dạng $- 1 (x^{2} - 32)$ .

$\frac{8 (- 1 (x^{2} - 32))}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 30.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{8 (x^{2} - 32)}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$