Giải tích Ví dụ

$10000 - 2500 x + 3750 \sqrt{16 + x^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $10000 - 2500 x + 3750 \sqrt{16 + x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [10000] + \frac{d}{d x} [- 2500 x] + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [10000] + \frac{d}{d x} [- 2500 x] + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

Bước 1.2

Vì $10000$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $10000$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2500 x] + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [- 2500 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 2500$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2500 x$ đối với $x$ là $- 2500 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2500 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 2500 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

Bước 2.3

Nhân $- 2500$ với $1$ .

$0 - 2500 + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{16 + x^{2}}$ ở dạng ${(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 - 2500 + \frac{d}{d x} [3750 {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2

Vì $3750$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3750 {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $3750 \frac{d}{d x} [{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 - 2500 + 3750 \frac{d}{d x} [{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 16 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $16 + x^{2}$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 + x^{2}])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 + x^{2}])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $16 + x^{2}$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 + x^{2}])$

Bước 3.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $16 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Bước 3.5

Vì $16$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $16$ đối với $x$ là $0$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))$

Bước 3.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x))$

Bước 3.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))$

Bước 3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))$

Bước 3.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x))$

Bước 3.10.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x))$

Bước 3.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x))$

Bước 3.12

Cộng $0$ và $2 x$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x))$

Bước 3.13

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{{(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x))$

Bước 3.14

Kết hợp $2$ và $\frac{{(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{2 {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)$

Bước 3.15

Kết hợp $\frac{2 {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $x$ .

$0 - 2500 + 3750 \frac{2 {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

Bước 3.16

Di chuyển ${(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 2500 + 3750 \frac{2 x}{2 {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.17

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 - 2500 + 3750 \frac{2 x}{2 {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.18

Viết lại biểu thức.

$0 - 2500 + 3750 \frac{x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.19

Kết hợp $3750$ và $\frac{x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$0 - 2500 + \frac{3750 x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Trừ $2500$ khỏi $0$ .

$- 2500 + \frac{3750 x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{3750 x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2500$