Giải tích Ví dụ

$2 \cos^{3} (e^{2 x})$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \cos^{3} (e^{2 x})$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (e^{2 x})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (e^{2 x})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \cos (e^{2 x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cos (e^{2 x})$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cos (e^{2 x})$ .

$2 (3 \cos^{2} (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

Bước 3

Nhân $3$ với $2$ .

$6 (\cos^{2} (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $e^{2 x}$ .

$6 \cos^{2} (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$6 \cos^{2} (e^{2 x}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{2 x}$ .

$6 \cos^{2} (e^{2 x}) (- \sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Bước 5

Nhân $- 1$ với $6$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) (\sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $2 x$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ là $a^{u_{3}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $2 x$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 7.2

Nhân $2$ với $- 6$ .

$- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 7.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)$

Bước 7.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $e^{2 x}$ với $1$ .

$- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

Bước 7.4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$ .

$- 12 e^{2 x} \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x})$