Giải tích Ví dụ

$\frac{x y}{8 x + 3 y}$

Bước 1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x y}{8 x + 3 y}$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [\frac{x}{8 x + 3 y}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{x}{8 x + 3 y}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = 8 x + 3 y$ .

$y \frac{(8 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [8 x + 3 y]}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y \frac{(8 x + 3 y) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [8 x + 3 y]}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Bước 3.2

Nhân $8 x + 3 y$ với $1$ .

$y \frac{8 x + 3 y - x \frac{d}{d x} [8 x + 3 y]}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 x + 3 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$y \frac{8 x + 3 y - x (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3 y])}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Bước 3.4

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{8 x + 3 y - x (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y \frac{8 x + 3 y - x (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Bước 3.6

Nhân $8$ với $1$ .

$y \frac{8 x + 3 y - x (8 + \frac{d}{d x} [3 y])}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Bước 3.7

Vì $3 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3 y$ đối với $x$ là $0$ .

$y \frac{8 x + 3 y - x (8 + 0)}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Bước 3.8

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Cộng $8$ và $0$ .

$y \frac{8 x + 3 y - x \cdot 8}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Bước 3.8.2

Nhân $8$ với $- 1$ .

$y \frac{8 x + 3 y - 8 x}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Bước 3.8.3

Trừ $8 x$ khỏi $8 x$ .

$y \frac{3 y + 0}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Bước 3.8.4

Cộng $3 y$ và $0$ .

$y \frac{3 y}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Bước 3.8.5

Kết hợp $y$ và $\frac{3 y}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$ .

$\frac{y (3 y)}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Bước 4

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 (y^{1} y)}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Bước 5

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 (y^{1} y^{1})}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 y^{1 + 1}}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Bước 7

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{3 y^{2}}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$