Giải tích Ví dụ

$x^{3} \sin (3 x^{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \sin (3 x^{2})$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [\sin (3 x^{2})] + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 3 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x^{2}$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$x^{3} (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x^{2}$ .

$x^{3} (\cos (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} (\cos (3 x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{3} (\cos (3 x^{2}) (3 (2 x))) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$x^{3} (\cos (3 x^{2}) (6 x)) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 4

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $x$ .

$x \cdot x^{3} (\cos (3 x^{2}) \cdot (6)) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 4.2

Nhân $x$ với $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{1} x^{3} (\cos (3 x^{2}) \cdot (6)) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{1 + 3} (\cos (3 x^{2}) \cdot (6)) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 4.3

Cộng $1$ và $3$ .

$x^{4} (\cos (3 x^{2}) \cdot (6)) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 5

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $\cos (3 x^{2})$ .

$x^{4} (6 \cdot \cos (3 x^{2})) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$x^{4} (6 \cos (3 x^{2})) + \sin (3 x^{2}) (3 x^{2})$

Bước 7

Sắp xếp lại các số hạng.

$6 x^{4} \cos (3 x^{2}) + 3 x^{2} \sin (3 x^{2})$