Giải tích Ví dụ

$x^{e x}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $x^{e x}$ ở dạng $e^{\ln (x^{e x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{e x})}]$

Bước 1.2

Khai triển $\ln (x^{e x})$ bằng cách di chuyển $e x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d}{d x} [e^{e x \ln (x)}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = e x \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $e x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e x \ln (x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [e x \ln (x)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $e x \ln (x)$ .

$e^{e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [e x \ln (x)]$

Bước 3

Vì $e$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $e x \ln (x)$ đối với $x$ là $e \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$e^{e x \ln (x)} (e \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Bước 4

Nhân $e^{e x \ln (x)}$ với $e$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $e$ .

$e e^{e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Bước 4.2

Nhân $e$ với $e^{e x \ln (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{1} e^{e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Bước 4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{1 + e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{1 + e x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{1 + e x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Bước 7.4

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (1 + \ln (x))$