Giải tích Ví dụ

$x^{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}] + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = x^{2} + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 3$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{3} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 3$ .

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 6.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{3} (\frac{{(x^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 7.3

Di chuyển ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{3} (\frac{1}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 7.4

Kết hợp $\frac{1}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ và $x^{3}$ .

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 10

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 11

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 x) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 11.2

Kết hợp $2$ và $\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} x + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 11.3

Kết hợp $\frac{2 x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ và $x$ .

$\frac{2 x^{3} x}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 12

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{3})}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 13

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x^{1 + 3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 14

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 15

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} (3 x^{2})$

Bước 16

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + 3 \cdot {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{2}$

Bước 17

Kết hợp $\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ và $3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{2}$ bằng mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Di chuyển ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 17.2

Để viết $3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 17.3

Kết hợp $3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ và $\frac{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 17.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 x^{4} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 18

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 19

Nhân ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ với ${(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Di chuyển ${(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} ({(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 19.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 19.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 19.4

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{3}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 19.5

Chia $3$ cho $3$ .

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{1}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 20

Rút gọn $9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{1}$ .

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} (x^{2} + 3)}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 21

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} x^{2} + 9 x^{2} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 21.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1.1

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1.1.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{4} + 9 (x^{2} x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 21.2.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2 + 2} + 9 x^{2} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 21.2.1.1.3

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{4} + 9 x^{2} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 21.2.1.2

Nhân $3$ với $9$ .

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{4} + 27 x^{2}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 21.2.2

Cộng $2 x^{4}$ và $9 x^{4}$ .

$\frac{11 x^{4} + 27 x^{2}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 21.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $11 x^{4} + 27 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.3.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $11 x^{4}$ .

$\frac{x^{2} (11 x^{2}) + 27 x^{2}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 21.3.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $27 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (11 x^{2}) + x^{2} \cdot 27}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 21.3.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (11 x^{2}) + x^{2} \cdot 27$ .

$\frac{x^{2} (11 x^{2} + 27)}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$