Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{7} \sqrt{7 x} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 7 x$ . Sau đó $d u = 7 d x$ , nên $\frac{1}{7} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 7 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Bước 1.1.2

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $7$ với $1$ .

$7$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 7 x$ .

$u_{lower} = 7 \cdot 0$

Bước 1.3

Nhân $7$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 7 x$ .

$u_{upper} = 7 \cdot 7$

Bước 1.5

Nhân $7$ với $7$ .

$u_{upper} = 49$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 49$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{49} \sqrt{u} \frac{1}{7} d u$

Bước 2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{7}$ .

$\int_{0}^{49} \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{7}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{7}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{7} \int_{0}^{49} \sqrt{u} d u$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \int_{0}^{49} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{49}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $49$ và tại $0$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{2}{3} \cdot 49^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết lại $49$ ở dạng $7^{2}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 7^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.4

Nâng $7$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 343 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.5

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $343$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2 \cdot 343}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.6

Nhân $2$ với $343$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.7

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.8

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 6.2.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 6.2.9.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 6.2.10

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Bước 6.2.11

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

Bước 6.2.12

Nhân $0$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} + 0)$

Bước 6.2.13

Cộng $\frac{686}{3}$ và $0$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{686}{3}$

Bước 6.2.14

Nhân $\frac{1}{7}$ với $\frac{686}{3}$ .

$\frac{686}{7 \cdot 3}$

Bước 6.2.15

Nhân $7$ với $3$ .

$\frac{686}{21}$

Bước 6.2.16

Triệt tiêu thừa số chung của $686$ và $21$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.16.1

Đưa $7$ ra ngoài $686$ .

$\frac{7 (98)}{21}$

Bước 6.2.16.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.16.2.1

Đưa $7$ ra ngoài $21$ .

$\frac{7 \cdot 98}{7 \cdot 3}$

Bước 6.2.16.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{7 \cdot 98}{7 \cdot 3}$

Bước 6.2.16.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{98}{3}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{98}{3}$

Dạng thập phân:

$32.\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$32 \frac{2}{3}$

Bước 8