Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{x} + \sqrt[4]{x}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x}]$

Bước 2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x}]$

Bước 2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x}]$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x}]$

Bước 2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x}]$

Bước 2.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x}]$

Bước 2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[4]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}$

Bước 3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Bước 3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Bước 3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}$

Bước 3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}$

Bước 3.6.2

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}$

Bước 3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}$

Bước 4.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

Bước 4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

Bước 4.3.2

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}$