Giải tích Ví dụ

$f (t) = \frac{1}{\arctan (3 t)}$

Bước 1

Viết lại $\frac{1}{\arctan (3 t)}$ ở dạng ${\arctan (3 t)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d t} [{\arctan (3 t)}^{- 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{- 1}$ và $g (t) = \arctan (3 t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\arctan (3 t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [\arctan (3 t)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [\arctan (3 t)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\arctan (3 t)$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [\arctan (3 t)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \arctan (t)$ và $g (t) = 3 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 t$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t])$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\arctan (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 t$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + {(3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 t$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + {(3 (t))}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

Bước 4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 (t)$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + 3^{2} t^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

Bước 4.2.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + 9 t^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

Bước 4.2.2

Kết hợp $\frac{1}{1 + 9 t^{2}}$ và ${\arctan (3 t)}^{- 2}$ .

$- \frac{{\arctan (3 t)}^{- 2}}{1 + 9 t^{2}} \frac{d}{d t} [3 t]$

Bước 4.2.3

Di chuyển ${\arctan (3 t)}^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t]$

Bước 4.3

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} (3 \frac{d}{d t} [t])$

Bước 4.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 \frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.4.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \cdot 1$

Bước 4.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{3}{1 {\arctan (3 t)}^{2} + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}}$

Bước 5.2

Nhân ${\arctan (3 t)}^{2}$ với $1$ .

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}}$

Bước 5.3

Đưa ${\arctan (3 t)}^{2}$ ra ngoài ${\arctan (3 t)}^{2} + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân với $1$ .

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} \cdot 1 + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Đưa ${\arctan (3 t)}^{2}$ ra ngoài $9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}$ .

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} \cdot 1 + {\arctan (3 t)}^{2} (9 t^{2})}$

Bước 5.3.3

Đưa ${\arctan (3 t)}^{2}$ ra ngoài ${\arctan (3 t)}^{2} \cdot 1 + {\arctan (3 t)}^{2} (9 t^{2})$ .

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} (1 + 9 t^{2})}$