Giải tích Ví dụ

$f (t) = \frac{4 t}{4 + \sqrt{t}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{4 t}{4 + t^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 1.2

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{4 t}{4 + t^{\frac{1}{2}}}$ đối với $t$ là $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{4 + t^{\frac{1}{2}}}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{4 + t^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = t$ và $g (t) = 4 + t^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{(4 + t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [4 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \frac{(4 + t^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [4 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3.2

Nhân $4 + t^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [4 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 + t^{\frac{1}{2}}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3.4

Vì $4$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $4$ đối với $t$ là $0$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (0 + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 10

Kết hợp $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $t$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 11

Nhân $t^{- \frac{1}{2}}$ với $t$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $t^{- \frac{1}{2}}$ với $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{1}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 11.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2} + 1}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 11.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 11.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 11.4

Cộng $- 1$ và $2$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 12

Để viết $t^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 13

Kết hợp $t^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 15

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $t^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{4 + \frac{2 \cdot t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 16

Trừ $t^{\frac{1}{2}}$ khỏi $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 17

Nhân $\frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ với $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{2}{2} \cdot \frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Bước 18

Kết hợp.

$4 \frac{2 (4 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 19

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \frac{2 \cdot 4 + 2 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 20

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{2 \cdot 4 + 2 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 20.2

Viết lại biểu thức.

$4 \frac{2 \cdot 4 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 21

Nhân $2$ với $4$ .

$4 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 22

Kết hợp $4$ và $\frac{8 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{4 (8 + t^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 23

Đưa $2$ ra ngoài $4 (8 + t^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (2 (8 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 24

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{2 (2 (8 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Bước 24.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 (8 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 24.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 (8 + t^{\frac{1}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 25

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cdot 8 + 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 25.2

Nhân $2$ với $8$ .

$\frac{16 + 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 25.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2 t^{\frac{1}{2}} + 16}{{(t^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Bước 25.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 t^{\frac{1}{2}} + 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (t^{\frac{1}{2}}) + 16}{{(t^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Bước 25.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$\frac{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 8}{{(t^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Bước 25.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 t^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 8$ .

$\frac{2 (t^{\frac{1}{2}} + 8)}{{(t^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$