Giải tích Ví dụ

$f (t) = \frac{1}{2} \cdot {(3 t^{2} + t)}^{- 3}$

Bước 1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{2} \cdot {(3 t^{2} + t)}^{- 3}$ đối với $t$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + t)}^{- 3}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + t)}^{- 3}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{- 3}$ và $g (t) = 3 t^{2} + t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 t^{2} + t$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 3$ .

$\frac{1}{2} (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 t^{2} + t$ .

$\frac{1}{2} (- 3 {(3 t^{2} + t)}^{- 4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2} ({(3 t^{2} + t)}^{- 4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t])$

Bước 3.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp ${(3 t^{2} + t)}^{- 4}$ và $\frac{- 3}{2}$ .

$\frac{{(3 t^{2} + t)}^{- 4} \cdot - 3}{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t]$

Bước 3.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của ${(3 t^{2} + t)}^{- 4}$ .

$\frac{- 3 \cdot {(3 t^{2} + t)}^{- 4}}{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t]$

Bước 3.2.2.2

Di chuyển ${(3 t^{2} + t)}^{- 4}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t]$

Bước 3.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t]$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 t^{2} + t$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.4

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t^{2}$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.6

Nhân $2$ với $3$ .

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} (6 t + \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} (6 t + 1)$

Bước 3.8

Sắp xếp lại các thừa số của $- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} (6 t + 1)$ .

$- (6 t + 1) \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}}$