Giải tích Ví dụ

$f (t) = \frac{25000}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $25000$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{25000}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}$ đối với $t$ là $25000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}]$ .

$25000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}$ ở dạng ${(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 1}$ .

$25000 \frac{d}{d t} [{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{- 1}$ và $g (t) = 1 + 11 e^{- 0.54 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $1 + 11 e^{- 0.54 t}$ .

$25000 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.54 t}])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$25000 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.54 t}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 + 11 e^{- 0.54 t}$ .

$25000 (- {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.54 t}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $- 1$ với $25000$ .

$- 25000 ({(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.54 t}])$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 11 e^{- 0.54 t}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}]$ .

$- 25000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}])$

Bước 3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$- 25000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}])$

Bước 3.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}]$ .

$- 25000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}]$

Bước 3.5

Vì $11$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $11 e^{- 0.54 t}$ đối với $t$ là $11 \frac{d}{d t} [e^{- 0.54 t}]$ .

$- 25000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (11 \frac{d}{d t} [e^{- 0.54 t}])$

Bước 3.6

Nhân $11$ với $- 25000$ .

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- 0.54 t}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = - 0.54 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- 0.54 t$ .

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 0.54 t])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 0.54 t])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 0.54 t$ .

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{- 0.54 t} \frac{d}{d t} [- 0.54 t])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 0.54$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- 0.54 t$ đối với $t$ là $- 0.54 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{- 0.54 t} (- 0.54 \frac{d}{d t} [t]))$

Bước 5.2

Nhân $- 0.54$ với $- 275000$ .

$148500 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{- 0.54 t} (\frac{d}{d t} [t]))$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$148500 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{- 0.54 t} \cdot 1)$

Bước 5.4

Nhân $e^{- 0.54 t}$ với $1$ .

$148500 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} e^{- 0.54 t}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sắp xếp lại các thừa số của $148500 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} e^{- 0.54 t}$ .

$148500 e^{- 0.54 t} {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2}$

Bước 6.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$148500 e^{- 0.54 t} \frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$

Bước 6.3

Nhân $148500 e^{- 0.54 t} \frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Kết hợp $\frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$ và $148500$ .

$\frac{148500}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}} e^{- 0.54 t}$

Bước 6.3.2

Kết hợp $\frac{148500}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$ và $e^{- 0.54 t}$ .

$\frac{148500 e^{- 0.54 t}}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$