Giải tích Ví dụ

$\int e^{2 θ} \sin (3 θ) d θ$

Bước 1

Sắp xếp lại $e^{2 θ}$ và $\sin (3 θ)$ .

$\int \sin (3 θ) e^{2 θ} d θ$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \sin (3 θ)$ và $d v = e^{2 θ}$ .

$\sin (3 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - \int \frac{1}{2} e^{2 θ} (3 \cos (3 θ)) d θ$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2} \cdot 3$ không đổi đối với $θ$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2} \cdot 3$ ra khỏi tích phân.

$\sin (3 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int e^{2 θ} (\cos (3 θ)) d θ)$

Bước 4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 θ}$ .

$\sin (3 θ) \frac{e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int e^{2 θ} (\cos (3 θ)) d θ)$

Bước 4.2

Kết hợp $\sin (3 θ)$ và $\frac{e^{2 θ}}{2}$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int e^{2 θ} (\cos (3 θ)) d θ)$

Bước 4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $3$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} \int e^{2 θ} (\cos (3 θ)) d θ)$

Bước 4.4

Sắp xếp lại $e^{2 θ}$ và $\cos (3 θ)$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} \int \cos (3 θ) e^{2 θ} d θ)$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \cos (3 θ)$ và $d v = e^{2 θ}$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\cos (3 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - \int \frac{1}{2} e^{2 θ} (- 3 \sin (3 θ)) d θ))$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2} \cdot - 3$ không đổi đối với $θ$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2} \cdot - 3$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\cos (3 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - (\frac{1}{2} \cdot - 3 \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)))$

Bước 7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 θ}$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\cos (3 θ) \frac{e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 3 \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)))$

Bước 7.2

Kết hợp $\cos (3 θ)$ và $\frac{e^{2 θ}}{2}$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\frac{\cos (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 3 \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)))$

Bước 7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 3$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\frac{\cos (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)))$

Bước 7.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3}{2} (- (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ))$

Bước 7.5

Nhân $\frac{\cos (3 θ) e^{2 θ}}{2}$ với $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{2 \cdot 2} - \frac{3}{2} (- (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ))$

Bước 7.6

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} - \frac{3}{2} (- (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ))$

Bước 7.6.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + 1 (\frac{3}{2}) (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)$

Bước 7.6.3

Nhân $\frac{3}{2}$ với $1$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + \frac{3}{2} (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)$

Bước 7.7

Nhân $\frac{- 3}{2}$ với $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ$

Bước 7.8

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.1

Nhân $- 3$ với $3$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + \frac{- 9}{2 \cdot 2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ$

Bước 7.8.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + \frac{- 9}{4} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ$

Bước 8

Khi giải tìm $\int e^{2 θ} \sin (3 θ) d θ$ , chúng ta thấy rằng $\int e^{2 θ} \sin (3 θ) d θ$ = $\frac{\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4}}{\frac{13}{4}}$ .

$\frac{\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4}}{\frac{13}{4}} + C$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\cos (3 θ) e^{2 θ}$ .

$\frac{\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3 \cdot (\cos (3 θ) e^{2 θ})}{4}}{\frac{13}{4}} + C$

Bước 9.1.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{13}{4}$ .

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3 \cos (3 θ) e^{2 θ}}{4}) \frac{4}{13} + C$

Bước 9.2

Viết lại $(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3 \cos (3 θ) e^{2 θ}}{4}) \frac{4}{13} + C$ ở dạng $(\frac{1}{2} \sin (3 θ) e^{2 θ} - \frac{3}{4} \cos (3 θ) e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$ .

$(\frac{1}{2} \sin (3 θ) e^{2 θ} - \frac{3}{4} \cos (3 θ) e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (3 θ)$ .

$(\frac{\sin (3 θ)}{2} e^{2 θ} - \frac{3}{4} \cos (3 θ) e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$

Bước 9.3.2

Kết hợp $\frac{\sin (3 θ)}{2}$ và $e^{2 θ}$ .

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3}{4} \cos (3 θ) e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$

Bước 9.3.3

Kết hợp $\cos (3 θ)$ và $\frac{3}{4}$ .

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) \cdot 3}{4} e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$

Bước 9.3.4

Kết hợp $e^{2 θ}$ và $\frac{\cos (3 θ) \cdot 3}{4}$ .

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{e^{2 θ} (\cos (3 θ) \cdot 3)}{4}) \frac{4}{13} + C$

Bước 9.3.5

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\cos (3 θ)$ .

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{e^{2 θ} (3 \cos (3 θ))}{4}) \frac{4}{13} + C$

Bước 9.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2}$ .

$(\frac{e^{2 θ} \sin (3 θ)}{2} - \frac{e^{2 θ} (3 \cos (3 θ))}{4}) \frac{4}{13} + C$

Bước 9.4.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.2.1

Viết lại.

$(\frac{e^{2 θ} \sin (3 θ)}{2} - \frac{e^{2 θ} (\cos (3 θ) \cdot 3)}{4}) \frac{4}{13} + C$

Bước 9.4.2.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\cos (3 θ)$ .

$(\frac{e^{2 θ} \sin (3 θ)}{2} - \frac{e^{2 θ} (3 \cdot \cos (3 θ))}{4}) \frac{4}{13} + C$

Bước 9.4.2.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(\frac{e^{2 θ} \sin (3 θ)}{2} - \frac{e^{2 θ} \cdot 3 \cos (3 θ)}{4}) \frac{4}{13} + C$

Bước 9.4.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e^{2 θ}$ .

$(\frac{1}{2} e^{2 θ} \sin (3 θ) - \frac{3}{4} e^{2 θ} \cos (3 θ)) \frac{4}{13} + C$