Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt[5]{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[5]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}})$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{5}$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}$

Bước 1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Bước 1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Bước 1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}$

Bước 1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}$

Bước 1.6.2

Trừ $5$ khỏi $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}$

Bước 1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}$

Bước 1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$

Bước 1.8.2

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}})$

Bước 2.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1})$

Bước 2.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5} \cdot - 1})$

Bước 2.2.2.2

Nhân $\frac{4}{5} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Kết hợp $\frac{4}{5}$ và $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4 \cdot - 1}{5}})$

Bước 2.2.2.2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 4}{5}})$

Bước 2.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{4}{5}})$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{4}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1})$

Bước 2.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Bước 2.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Bước 2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Bước 2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 5}{5}})$

Bước 2.7.2

Trừ $5$ khỏi $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 9}{5}})$

Bước 2.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{- \frac{9}{5}})$

Bước 2.9

Kết hợp $x^{- \frac{9}{5}}$ và $\frac{4}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5})$

Bước 2.10

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5 \cdot 5}$

Bước 2.11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Nhân $5$ với $5$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{25}$

Bước 2.11.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x^{- \frac{9}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 \cdot x^{- \frac{9}{5}}}{25}$

Bước 2.11.3

Di chuyển $x^{- \frac{9}{5}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{25 x^{\frac{9}{5}}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- \frac{4}{25}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{4}{25 x^{\frac{9}{5}}}$ đối với $x$ là $- \frac{4}{25} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{9}{5}}}]$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{9}{5}}}$

Bước 3.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{9}{5}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{9}{5}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{9}{5}})}^{- 1}$

Bước 3.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{9}{5}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{9}{5} \cdot - 1}$

Bước 3.2.2.2

Nhân $\frac{9}{5} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Kết hợp $\frac{9}{5}$ và $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{9 \cdot - 1}{5}}$

Bước 3.2.2.2.2

Nhân $9$ với $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 9}{5}}$

Bước 3.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{9}{5}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{9}{5}$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{- \frac{9}{5} - 1})$

Bước 3.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{- \frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Bước 3.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{5}{5}$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{- \frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Bước 3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{\frac{- 9 - 1 \cdot 5}{5}})$

Bước 3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{\frac{- 9 - 5}{5}})$

Bước 3.7.2

Trừ $5$ khỏi $- 9$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{\frac{- 14}{5}})$

Bước 3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{- \frac{14}{5}})$

Bước 3.9

Kết hợp $x^{- \frac{14}{5}}$ và $\frac{9}{5}$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9}{5})$

Bước 3.10

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{4}{25}) \cdot \frac{x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9}{5}$

Bước 3.10.2

Nhân $\frac{4}{25}$ với $1$ .

$f''' (x) = \frac{4}{25} \cdot \frac{x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9}{5}$

Bước 3.11

Nhân $\frac{4}{25}$ với $\frac{x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9}{5}$ .

$f''' (x) = \frac{4 (x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9)}{25 \cdot 5}$

Bước 3.12

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Nhân $9$ với $4$ .

$f''' (x) = \frac{36 x^{- \frac{14}{5}}}{25 \cdot 5}$

Bước 3.12.2

Nhân $25$ với $5$ .

$f''' (x) = \frac{36 x^{- \frac{14}{5}}}{125}$

Bước 3.12.3

Di chuyển $x^{- \frac{14}{5}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{36}{125 x^{\frac{14}{5}}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $\frac{36}{125}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{36}{125 x^{\frac{14}{5}}}$ đối với $x$ là $\frac{36}{125} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{14}{5}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{14}{5}}})$

Bước 4.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{14}{5}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{14}{5}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{14}{5}})}^{- 1})$

Bước 4.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{14}{5}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{14}{5} \cdot - 1})$

Bước 4.2.2.2

Nhân $\frac{14}{5} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Kết hợp $\frac{14}{5}$ và $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{14 \cdot - 1}{5}})$

Bước 4.2.2.2.2

Nhân $14$ với $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 14}{5}})$

Bước 4.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{14}{5}})$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{14}{5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{- \frac{14}{5} - 1})$

Bước 4.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{- \frac{14}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Bước 4.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{5}{5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{- \frac{14}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Bước 4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{\frac{- 14 - 1 \cdot 5}{5}})$

Bước 4.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{\frac{- 14 - 5}{5}})$

Bước 4.7.2

Trừ $5$ khỏi $- 14$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{\frac{- 19}{5}})$

Bước 4.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{- \frac{19}{5}})$

Bước 4.9

Kết hợp $x^{- \frac{19}{5}}$ và $\frac{14}{5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{x^{- \frac{19}{5}} \cdot 14}{5})$

Bước 4.10

Nhân $\frac{36}{125}$ với $\frac{x^{- \frac{19}{5}} \cdot 14}{5}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{36 (x^{- \frac{19}{5}} \cdot 14)}{125 \cdot 5}$

Bước 4.11

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.1

Nhân $14$ với $36$ .

$f^{4} (x) = - \frac{504 x^{- \frac{19}{5}}}{125 \cdot 5}$

Bước 4.11.2

Nhân $125$ với $5$ .

$f^{4} (x) = - \frac{504 x^{- \frac{19}{5}}}{625}$

Bước 4.11.3

Di chuyển $x^{- \frac{19}{5}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{504}{625 x^{\frac{19}{5}}}$