Giải tích Ví dụ

$f (x) = (6 \sqrt{x} - 2) (5 \sqrt{x} + 7)$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 \sqrt{x} + 7)]$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 x^{\frac{1}{2}} + 7)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 6 x^{\frac{1}{2}} - 2$ và $g (x) = 5 x^{\frac{1}{2}} + 7$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}} + 7] + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x^{\frac{1}{2}} + 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Bước 3.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Bước 8.3

Kết hợp $5$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{5 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Bước 8.4

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Bước 9

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Bước 10

Cộng $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ và $0$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Bước 11

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x^{\frac{1}{2}} - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 12

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 14

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 15

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 16

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 17

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 17.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 18

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 19

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 20

Kết hợp $6$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (\frac{6 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 21

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (\frac{6}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 22

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (\frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 23

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (\frac{2 \cdot 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 23.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (\frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 23.3

Viết lại biểu thức.

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 24

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Bước 25

Cộng $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ và $0$ .

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 x^{\frac{1}{2}} \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 x^{\frac{1}{2}} \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.3.1

Kết hợp $6$ và $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{6 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.2

Nhân $6$ với $5$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{30}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.3

Kết hợp $x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{30}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 30}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.4

Di chuyển $30$ sang phía bên trái của $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{30 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.5

Đưa $2$ ra ngoài $30 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.3.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.7

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.8

Chia $15$ cho $1$ .

$15 - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.9

Kết hợp $- 2$ và $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$15 + \frac{- 2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.10

Nhân $- 2$ với $5$ .

$15 + \frac{- 10}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.11

Đưa $2$ ra ngoài $- 10$ .

$15 + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.12

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.3.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$15 + \frac{2 \cdot - 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$15 + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.12.3

Viết lại biểu thức.

$15 + \frac{- 5}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.14

Kết hợp $5$ và $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{5 \cdot 3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.15

Nhân $5$ với $3$ .

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{15}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.16

Kết hợp $x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{15}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 15}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.17

Di chuyển $15$ sang phía bên trái của $x^{\frac{1}{2}}$ .

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.18

Triệt tiêu thừa số chung.

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.19

Chia $15$ cho $1$ .

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + 15 + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.20

Kết hợp $7$ và $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + 15 + \frac{7 \cdot 3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.21

Nhân $7$ với $3$ .

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + 15 + \frac{21}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.22

Cộng $15$ và $15$ .

$30 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{21}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.23

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$30 + \frac{- 5 + 21}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 26.3.24

Cộng $- 5$ và $21$ .

$30 + \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$