Giải tích Ví dụ

$f (x) = {(\ln (x))}^{\sec (x)}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(\ln (x))}^{\sec (x)}$ ở dạng $e^{\ln ({(\ln (x))}^{\sec (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(\ln (x))}^{\sec (x)})}]$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({(\ln (x))}^{\sec (x)})$ bằng cách di chuyển $\sec (x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d}{d x} [e^{\sec (x) \ln (\ln (x))}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \sec (x) \ln (\ln (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sec (x) \ln (\ln (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sec (x) \ln (\ln (x))]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (x) \ln (\ln (x))]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sec (x) \ln (\ln (x))$ .

$e^{\sec (x) \ln (\ln (x))} \frac{d}{d x} [\sec (x) \ln (\ln (x))]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = \ln (\ln (x))$ .

$e^{\sec (x) \ln (\ln (x))} (\sec (x) \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\ln (x)$ .

$e^{\sec (x) \ln (\ln (x))} (\sec (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\sec (x) \ln (\ln (x))} (\sec (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\ln (x)$ .

$e^{\sec (x) \ln (\ln (x))} (\sec (x) (\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{\ln (x)}$ và $\sec (x)$ .

$e^{\sec (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\sec (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 6

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sec (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\sec (x)}{\ln (x)} \cdot \frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 7

Nhân $\frac{\sec (x)}{\ln (x)}$ với $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sec (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\sec (x)}{\ln (x) x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 8

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$e^{\sec (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\sec (x)}{\ln (x) x} + \ln (\ln (x)) (\sec (x) \tan (x)))$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{\sec (x) \ln (\ln (x))} \frac{\sec (x)}{\ln (x) x} + e^{\sec (x) \ln (\ln (x))} (\ln (\ln (x)) (\sec (x) \tan (x)))$

Bước 9.2

Kết hợp $e^{\sec (x) \ln (\ln (x))}$ và $\frac{\sec (x)}{\ln (x) x}$ .

$\frac{e^{\sec (x) \ln (\ln (x))} \sec (x)}{\ln (x) x} + e^{\sec (x) \ln (\ln (x))} \ln (\ln (x)) \sec (x) \tan (x)$

Bước 9.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{\sec (x) \ln (\ln (x))} \sec (x) \tan (x) \ln (\ln (x)) + \frac{e^{\sec (x) \ln (\ln (x))} \sec (x)}{\ln (x) x}$