Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{4 x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4 x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2} \tan (x)$ và $g (x) = \sec (x)$ .

$4 \frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \tan (x)] - x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \tan (x)$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Bước 4

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Bước 6

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Bước 7

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Bước 8

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Bước 9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Bước 10

Cộng $1$ và $1$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Bước 11

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $- x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) + \sec (x) (- x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)}$

Bước 11.2

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) + \sec (x) (- x^{2} \tan^{2} (x))$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)}$

Bước 12

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec^{2} (x)$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

Bước 12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

Bước 12.3

Viết lại biểu thức.

$4 \frac{x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x)}{\sec (x)}$

Bước 13

Kết hợp $4$ và $\frac{x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x)}{\sec (x)}$ .

$\frac{4 (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (x^{2} \sec^{2} (x)) + 4 (\tan (x) (2 x)) + 4 (- x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Bước 14.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 (x^{2} \sec^{2} (x)) + 4 (\tan (x) (2 x)) + 4 (- x^{2} \tan^{2} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.1

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 (x^{2} \sec^{2} (x))$ .

$\frac{4 x (x \sec^{2} (x)) + 4 (\tan (x) (2 x)) + 4 (- x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Bước 14.2.1.2

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 (\tan (x) (2 x))$ .

$\frac{4 x (x \sec^{2} (x)) + 4 x (\tan (x) \cdot (2)) + 4 (- x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Bước 14.2.1.3

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 (- x^{2} \tan^{2} (x))$ .

$\frac{4 x (x \sec^{2} (x)) + 4 x (\tan (x) \cdot (2)) + 4 x (- x \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Bước 14.2.1.4

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x (x \sec^{2} (x)) + 4 x (\tan (x) \cdot (2))$ .

$\frac{4 x (x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2)) + 4 x (- x \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Bước 14.2.1.5

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x (x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2)) + 4 x (- x \tan^{2} (x))$ .

$\frac{4 x (x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2) - x \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Bước 14.2.2

Di chuyển $- x \tan^{2} (x)$ .

$\frac{4 x (x \sec^{2} (x) - x \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Bước 14.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \sec^{2} (x)$ .

$\frac{4 x (x (\sec^{2} (x)) - x \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Bước 14.2.4

Đưa $x$ ra ngoài $- x \tan^{2} (x)$ .

$\frac{4 x (x (\sec^{2} (x)) + x (- 1 \tan^{2} (x)) + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Bước 14.2.5

Đưa $x$ ra ngoài $x (\sec^{2} (x)) + x (- 1 \tan^{2} (x))$ .

$\frac{4 x (x (\sec^{2} (x) - 1 \tan^{2} (x)) + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Bước 14.2.6

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{4 x (x \cdot 1 + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Bước 14.2.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.7.1

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{4 x (x + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Bước 14.2.7.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\tan (x)$ .

$\frac{4 x (x + 2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Bước 14.2.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x (2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Bước 14.2.9

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.9.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 x (2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Bước 14.2.9.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 x (2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Bước 14.2.10

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{4 x^{2} + 8 x \tan (x)}{\sec (x)}$

Bước 14.3

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x^{2} + 8 x \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$\frac{4 x (x) + 8 x \tan (x)}{\sec (x)}$

Bước 14.3.2

Đưa $4 x$ ra ngoài $8 x \tan (x)$ .

$\frac{4 x (x) + 4 x (2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Bước 14.3.3

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x (x) + 4 x (2 \tan (x))$ .

$\frac{4 x (x + 2 \tan (x))}{\sec (x)}$