Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{{(3 x - 5)}^{3}}{{(2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = {(3 x - 5)}^{3}$ và $g (x) = {(2 x^{2} + 1)}^{4}$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{3}] - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{({(2 x^{2} + 1)}^{4})}^{2}}$

Bước 2

Nhân các số mũ trong ${({(2 x^{2} + 1)}^{4})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{3}] - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{4 \cdot 2}}$

Bước 2.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{3}] - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = 3 x - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 x - 5$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [3 x - 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{4} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x - 5$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{4} (3 {(3 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(2 x^{2} + 1)}^{4}$ .

$\frac{3 \cdot {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 5] - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{3 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 4.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{3 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 4.5

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{3 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 4.6

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{3 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} (3 + 0) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 4.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Cộng $3$ và $0$ .

$\frac{3 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} \cdot 3 - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 4.7.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = 2 x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x^{2} + 1$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - {(3 x - 5)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - {(3 x - 5)}^{3} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x^{2} + 1$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - {(3 x - 5)}^{3} (4 {(2 x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 6.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 6.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 6.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 6.5

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} (4 x + \frac{d}{d x} [1]))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 6.6

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} (4 x + 0))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 6.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Cộng $4 x$ và $0$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} (4 x))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 6.7.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của ${(2 x^{2} + 1)}^{3}$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} (4 \cdot {(2 x^{2} + 1)}^{3} x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 6.7.3

Nhân $4$ với $- 4$ .

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 16 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Đưa ${(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2}$ ra ngoài $9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 16 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

Đưa ${(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2}$ ra ngoài $9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2}$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (9 (2 x^{2} + 1)) - 16 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 7.1.1.2

Đưa ${(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2}$ ra ngoài $- 16 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} x)$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (9 (2 x^{2} + 1)) + {(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (- 16 (3 x - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 7.1.1.3

Đưa ${(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2}$ ra ngoài ${(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (9 (2 x^{2} + 1)) + {(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (- 16 (3 x - 5) x)$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (9 (2 x^{2} + 1) - 16 (3 x - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 7.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (9 (2 x^{2}) + 9 \cdot 1 - 16 (3 x - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 7.1.3

Nhân $2$ với $9$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 \cdot 1 - 16 (3 x - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 7.1.4

Nhân $9$ với $1$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 - 16 (3 x - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 7.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 + (- 16 (3 x) - 16 \cdot - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 7.1.6

Nhân $3$ với $- 16$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 + (- 48 x - 16 \cdot - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 7.1.7

Nhân $- 16$ với $- 5$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 + (- 48 x + 80) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 7.1.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 - 48 x \cdot x + 80 x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 7.1.9

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.9.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 - 48 (x \cdot x) + 80 x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 7.1.9.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 - 48 x^{2} + 80 x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 7.1.10

Trừ $48 x^{2}$ khỏi $18 x^{2}$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 9 + 80 x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 7.1.11

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 80 x + 9)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(2 x^{2} + 1)}^{3}$ và ${(2 x^{2} + 1)}^{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Đưa ${(2 x^{2} + 1)}^{3}$ ra ngoài ${(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 80 x + 9)$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} ({(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 80 x + 9))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

Bước 7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Đưa ${(2 x^{2} + 1)}^{3}$ ra ngoài ${(2 x^{2} + 1)}^{8}$ .

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} ({(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 80 x + 9))}{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Bước 7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} ({(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 80 x + 9))}{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Bước 7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 80 x + 9)}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Bước 7.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 30 x^{2}$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- (30 x^{2}) + 80 x + 9)}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Bước 7.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $80 x$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- (30 x^{2}) - (- 80 x) + 9)}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Bước 7.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (30 x^{2}) - (- 80 x)$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- (30 x^{2} - 80 x) + 9)}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Bước 7.6

Viết lại $9$ ở dạng $- 1 (- 9)$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- (30 x^{2} - 80 x) - 1 (- 9))}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Bước 7.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (30 x^{2} - 80 x) - 1 (- 9)$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- (30 x^{2} - 80 x - 9))}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Bước 7.8

Viết lại $- (30 x^{2} - 80 x - 9)$ ở dạng $- 1 (30 x^{2} - 80 x - 9)$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- 1 (30 x^{2} - 80 x - 9))}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

Bước 7.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{{(3 x - 5)}^{2} (30 x^{2} - 80 x - 9)}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$