Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{\log_{9} (x)}{x^{3}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \log_{9} (x)$ và $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Bước 2

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Bước 2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 3

Đạo hàm của $\log_{9} (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x \ln (9)}$ .

$\frac{x^{3} \frac{1}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $x^{3}$ và $\frac{1}{x \ln (9)}$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{3}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x \ln (9)$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x (\ln (9))} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{x^{2}}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 5

Nhân $\frac{\frac{x^{2}}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$ với $\frac{\ln (9)}{\ln (9)}$ .

$\frac{\ln (9)}{\ln (9)} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Bước 6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp.

$\frac{\ln (9) (\frac{x^{2}}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\ln (9) x^{6}}$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\ln (9) \frac{x^{2}}{\ln (9)} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\ln (9) x^{6}}$

Bước 6.3

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (9)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (9) \frac{x^{2}}{\ln (9)} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\ln (9) x^{6}}$

Bước 6.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{2} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\ln (9) x^{6}}$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{x^{2} + \ln (9) (- \log_{9} (x) (3 x^{2}))}{\ln (9) x^{6}}$

Bước 8

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2} + \ln (9) (- 3 \log_{9} (x) x^{2})}{\ln (9) x^{6}}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Rút gọn $- 3 \log_{9} (x)$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$\frac{x^{2} + \ln (9) (- \log_{9} (x^{3}) x^{2})}{\ln (9) x^{6}}$

Bước 9.1.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $x^{2} + \ln (9) (- \log_{9} (x^{3}) x^{2})$ .

$\frac{x^{2} - x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})}{\ln (9) x^{6}}$

Bước 9.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{x^{2} - x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})}{x^{6} \ln (9)}$

Bước 9.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} - x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nhân với $1$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})}{x^{6} \ln (9)}$

Bước 9.3.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- \ln (9) \log_{9} (x^{3}))}{x^{6} \ln (9)}$

Bước 9.3.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- \ln (9) \log_{9} (x^{3}))$ .

$\frac{x^{2} (1 - \ln (9) \log_{9} (x^{3}))}{x^{6} \ln (9)}$

Bước 9.4

Khai triển $\log_{9} (x^{3})$ bằng cách di chuyển $3$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{x^{2} (1 - \ln (9) (3 \log_{9} (x)))}{x^{6} \ln (9)}$

Bước 9.5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{6} \ln (9)$ .

$\frac{x^{2} (1 - \ln (9) (3 \log_{9} (x)))}{x^{2} (x^{4} \ln (9))}$

Bước 9.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} (1 - \ln (9) (3 \log_{9} (x)))}{x^{2} (x^{4} \ln (9))}$

Bước 9.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 - \ln (9) (3 \log_{9} (x))}{x^{4} \ln (9)}$

Bước 9.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{1 - 3 \ln (9) \log_{9} (x)}{x^{4} \ln (9)}$