Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{\cos (x)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2} + 1$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\cos (x) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Bước 2.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\cos (x) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Bước 2.4

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{\cos (x) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) (2 x) - (x^{2} + 1) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Bước 4

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\cos (x) (2 x) + 1 (x^{2} + 1) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 4.2

Nhân $x^{2} + 1$ với $1$ .

$\frac{\cos (x) (2 x) + (x^{2} + 1) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos (x) (2 x) + x^{2} \sin (x) + 1 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 5.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 \cos (x) x + x^{2} \sin (x) + 1 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 5.2.1.2

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\frac{2 \cos (x) x + x^{2} \sin (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 5.2.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 \cos (x) x + x^{2} \sin (x) + \sin (x)$ .

$\frac{2 x \cos (x) + x^{2} \sin (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$