Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{4 x^{2} + 4}$

Bước 1

Viết lại $\frac{1}{4 x^{2} + 4}$ ở dạng ${(4 x^{2} + 4)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x^{2} + 4)}^{- 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = 4 x^{2} + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x^{2} + 4$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{2} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 3.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 3.4

Nhân $2$ với $4$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 3.5

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x + 0)$

Bước 3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Cộng $8 x$ và $0$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x)$

Bước 3.6.2

Nhân $8$ với $- 1$ .

$- 8 {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $- 8$ và $\frac{1}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

Bước 4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

Bước 4.2.3

Kết hợp $x$ và $\frac{8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 4.2.4

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $x$ .

$- \frac{8 x}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 4.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{2} + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2}) + 4)}^{2}}$

Bước 4.3.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2}) + 4 (1))}^{2}}$

Bước 4.3.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (x^{2}) + 4 (1)$ .

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2} + 1))}^{2}}$

Bước 4.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 (x^{2} + 1)$ .

$- \frac{8 x}{4^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 4.3.3

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{8 x}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 4.4

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Đưa $8$ ra ngoài $8 x$ .

$- \frac{8 (x)}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 4.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Đưa $8$ ra ngoài $16 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- \frac{8 (x)}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Bước 4.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{8 x}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Bước 4.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{2}}$