Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 6 x^{3} - 36 x^{2} + 108 x - 4$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2} x^{4} + 6 x^{3} - 36 x^{2} + 108 x - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{2} x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 2.4

Kết hợp $\frac{4}{2}$ và $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 2.5.2.4

Chia $2 x^{3}$ cho $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{3}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 x^{3} + 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 3.3

Nhân $3$ với $6$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $- 36$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 36 x^{2}$ đối với $x$ là $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 4.3

Nhân $2$ với $- 36$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 5

Tính $\frac{d}{d x} [108 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $108$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $108 x$ đối với $x$ là $108 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} - 72 x + 108 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} - 72 x + 108 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 5.3

Nhân $108$ với $1$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} - 72 x + 108 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} - 72 x + 108 + 0$

Bước 6.2

Cộng $2 x^{3} + 18 x^{2} - 72 x + 108$ và $0$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} - 72 x + 108$