Giải tích Ví dụ

$f (x) = e^{- 2 x} \ln (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{- 2 x}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 3

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- 2 x$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 2 x$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1))$

Bước 5.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 2 x} \cdot - 2)$

Bước 5.3.2

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{x} + \ln (x) (- 2 \cdot e^{- 2 x})$

Bước 5.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 2 e^{- 2 x} \ln (x) + \frac{e^{- 2 x}}{x}$