Giải tích Ví dụ

$f (x) = e^{- \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- \frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 3.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 3.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 3.4

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 3.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0)$

Bước 3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân $\frac{1}{x^{2}}$ với $0$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 x^{- 3} + 0)$

Bước 3.6.2

Cộng $2 x^{- 3}$ và $0$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 x^{- 3})$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} \frac{2}{x^{3}}$

Bước 4.2.2

Kết hợp $e^{- \frac{1}{x^{2}}}$ và $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{e^{- \frac{1}{x^{2}}} \cdot 2}{x^{3}}$

Bước 4.2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{- \frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{2 e^{- \frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}$