Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{8}{\sqrt{4 - x}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{4 - x}$ ở dạng ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 1.2

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 1.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Viết lại $\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Bước 1.3.2

Nhân các số mũ trong ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Bước 1.3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Bước 1.3.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$8 \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ và $g (x) = 4 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 - x$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{1}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 - x$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Bước 7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Bước 8

Kết hợp ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$8 (- \frac{{(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Bước 9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Bước 9.2

Nhân $- 1$ với $8$ .

$- 8 (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Bước 10

Kết hợp $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ và $- 8$ .

$\frac{- 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Bước 11

Đưa $2$ ra ngoài $- 8$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Bước 12

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 ({(4 - x)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Bước 12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Bước 12.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Bước 13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Bước 14

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 15

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 16

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 17

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

Bước 18

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 18.2

Nhân $\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ với $1$ .

$\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 19

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Bước 20

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Nhân $\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ với $1$ .

$\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 20.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{4}{{(- x + 4)}^{\frac{3}{2}}}$